Algèbre linéaire Exemples

$(- 3 - 5 i) - (4 + 2 i)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 - 5 i - 1 \cdot 4 - (2 i)$

Étape 1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 3 - 5 i - 4 - (2 i)$

Étape 1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 3 - 5 i - 4 - 2 i$

Étape 2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.1

Soustrayez $4$ de $- 3$ .

$- 7 - 5 i - 2 i$

Étape 2.2

Soustrayez $2 i$ de $- 5 i$ .

$- 7 - 7 i$

Étape 3

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 7$ et $b = - 7$ .

$| z | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{2}}$

Étape 6

Déterminez $| z |$ .

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Étape 6.1

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{49 + {(- 7)}^{2}}$

Étape 6.2

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{49 + 49}$

Étape 6.3

Additionnez $49$ et $49$ .

$| z | = \sqrt{98}$

Étape 6.4

Réécrivez $98$ comme $7^{2} \cdot 2$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $49$ à partir de $98$ .

$| z | = \sqrt{49 (2)}$

Étape 6.4.2

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$| z | = \sqrt{7^{2} \cdot 2}$

Étape 6.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| z | = 7 \sqrt{2}$

Étape 7

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- 7}{- 7})$

Étape 8

Comme la tangente inverse de $\frac{- 7}{- 7}$ produit un angle dans le troisième quadrant, la valeur de l’angle est $\frac{5 π}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Étape 9

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{5 π}{4}$ et $| z | = 7 \sqrt{2}$ .

$7 \sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$